请问陪集、左陪集、商群、正规子群该如何理解?

汽车新闻 2020-05-16142未知admin

  自学抽代的小女孩请各位大神多多赐教,不胜感激。 定义我是知道的,但是感觉理解不透。所以想向大家请教~ 另外,陪集可以理解成等价类吗,它对于群的划分是怎样的呢?商集如果我没记错是所有等价类的,那么商群的作用是什么,为什么要通过正规子集来刻画呢? 谢谢大家~不胜感激

  陪集分解就是把群按照一个等价关系进行了划分,左陪集、右陪集以及双陪集(有的题目里出现过)都属于陪集分解的方式。因此一个群G对于一个子群N的每个陪集都是一个等价类,通过陪集对群的元素实现分类。

  为什么要找正规子群,因为我们要作商(从某种意义来说似乎和研究环的时候找理想的原因差不多),把G的元素a映射到它所在的陪集aN上。我们希望这个商映射是一个同态,即商群之中能有和G一样的运算,即aN•bN=(ab)N,比方说我们对整数的模m同余运算就是Z商掉mZ的商群里的运算。并不是所有的子群都满足这样的性质。当我们令N为正规子群时,我们就得到了商同态,从而能在商群G/N中进行运算,并且显而易见运算的结果是与a,b的选取无关的。

  为什么要作商?个人认为是把具有一类相同性质的子群商掉,以一个陪集代表具有相同的性质的元素全体,从而只考虑不同的性质(归根结底还是分类吧)。比方说同态基本中我们会对同态f:G→H,对G商掉它的核Ker f,就把所有像相同的元素并到一个陪集中,那么我们研究同态映射的像只需考虑G/Ker f中的元素之间的关系即可。

  你把群G当成一个高中,里面的元素就是学生。这个高中有三个年级,每个年级5个班,每个班40个学生。

  下面来谈谈商的本质,其实商就是把有等价关系的两个元素在新的群中看成同一个,而等价关系的给出,就是由被商掉的那个群决定的。

  回到之前的例子,我现在把一个班级看成一个子群,就取高一一班好了,这里的等价关系就是同一个班级的学生是彼此等价的,显然互反性,传递性,对称性满足,这确实是个等价关系。那么做商以后得到的是什么呢,这个就是这个高中班级的,里面有十五个元素:高一一班一直到高三五班。每个元素都是一个,里面的元素是这个班级的学生,这样在这个商关系之下,班级也就是所谓的陪集。

  现在我们换一下,把年级看成等价关系,被商的子群就是一个年级,就取高一年级,这样得到的商群中的元素就是三个年级。

  那么什么是正规子群呢,你可以把正规子群理解为一类特殊的子群,特殊在于,商掉正规子群得到的商群有自然的群结构。在的例子中,可以非常不严格的把班级和年级看成正规子群,因为它们是特殊的,因为生活中我们常以班级年级作为的单位。

  那么在的例子中,什么可以当子群呢,你不妨把学为1的学生全体当一个子群,此时的等价关系就是相同的学。这样得到的商群就是40个,为什么我要把它当子群,因为在生活中你基本遇不到学校以学来划分全体学生…

  在正规子群这里,类比是很不贴切的,我主要想告诉你的是正规子群是极其特殊的子群。

  其实刚学的时候我也觉得商群这个东西很难理解,一个群商掉一个子群,相当于一个商掉另一个,得到一个新的,这个中的元素都是…我一开始确实是从的角度来理解的,于是越想越晕…后来学多了,就想出了这个例子来加深理解。

  最后的最后,这个例子只是直观的理解,主要是对商掉等价关系是什么意思作出解释,而舍去了群里面的运算是怎样的。希望有帮助。

  曾经看到过一个说法:cosets are copies of a subgroup.“陪集们就只是某个取定的子群的拷贝版本”,非常精道的一句话,当时读到时颇有醍醐之感,希望能帮到题主。

  既然是copy来的,就说明陪集和它的那个子群大小相同,结构上相似,这就暗含了对原来的大群进行分解的意味,当作为拷贝源的这个子群性质再好一点成为一个正规子群时,这样的陪集分解就能做成性质更好的商群。商群的好处是从一种“较为宏观”的大视角来审视原来的群,它抹去了一些细枝末节,而更关注整体的结构。至于陪集的左右之分,实际上只是“拷贝方式”的差别,这一点在Visual Group Theory里面有生动解释。

  夹点私货(233):这是《Visual Group Theory》中的一句话,题主英文不错的话可以看看这本书,对初学群论有不小帮助。要是对自己的英文不太自信,也可以关注我的微信,我会在不断更新这本书的中文翻译,目前第五章即将更完,而第六章开始就会正式讲到子群、陪集、正规子群这些内容了(逃…)

  在群论中,人们喜欢把那些没有非平凡不变子群的群称为“单群”,英文名叫“ group”,看它的英文名你大概就能猜出来它的性质了。有一些群,它没有内部结构,不能分解成更基本的群的直乘形式,这样的群往往被称为“简单”群;而另外一些群,它有内部结构,它可以被看成更基本的群的直乘形式,而通过研究它的非不变子群我们就能得知它是由哪些更基本的群组成的。而这样的分解过程可以不断进行下去,直到找到一个最终为单群的不变子群为止。

  举个最简单的例子吧,两个二元群可以通过群乘的方式变成一个四元群,二元群的元素分别为1和-1,而这两个二元群组成的四元群系统的元素共有四个(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1),你能看出什么来?(1,1)和(-1,-1)组成了一个子群并且是不变子群,这是一个二元群,而由这个不变子群的陪集所组成的群也是一个二元群。通过这样的方式,我们就知道了它的内部结构并且把它分解成两个二元群直乘的形式。

  如果G是交换群,就像的整数加法那显然,因为作用顺序无所谓就可以随便换。不过其实用不着交换群这么强的要求,只要左右陪集是一样就可以了,左右陪集相等就等价于H是正规子群

  直观意义的话就像前面几位说的那样吧...另一个我觉得比较直观的栗子是矩阵(二阶张量)乘法,正规子群对应的那个共轭关系在矩阵里是矩阵相似,要看做坐标变换的话,其实正规子群就是坐标变换下等价的变换,而商群的意义就是把这层等价关系合并从而进行分类

  我试着用形象的方释一下,如果G是一个群,N是他的一个正规子群。现在把G里的元素以N的结构为模板凝聚成一个个小块,每一个小块就是一个陪集,在群运算下每一个小块以整体为单位改变,这些小块的全体组成了一个新的群G/N

  顺便说一下,对于新概念可以先熟练运用,等用的足够熟悉的时候,自然就理解了

  陪集和对应的子群是等势的,左右陪集是一一对应的,左陪集与右陪集如果有交,其对应的子群就是正规子群。其实也就是说,陪集就对应了原来的子群,有了陪集就等于有了子群。

  商群则类似于商空间,是陪集组成的群,要正规子群才能做商群,因为只有这样商群的元素才是一个群,同时左右陪集就等同了,也方便定义。

  吃不透很正常,初学者能记住定义,但是对于群的结构不能有一个“直观”的感受,做题和继续学习都可以更容易去理解这些基础东西。

  前面答主都已经解释了陪集的确是等价类。特别的陪集给出了大的群的一个划分方法。陪集有联系到“群的作用”(action)这一知识,继续学下去会有多一些的理解。

  另外,为什么有正规子群,这里只说一个点,你要让这个左右陪集相等还能让陪集成群的话,这个正规子群能很好的满足你的需要。而且正规子群对于内自同构(共轭作用)是不变的。放宽到自同构自同态时候,大家还会研究特征子群和全不变子群。

  出现正规子群这个研究的一个很大的原因是,群的定义中没有交换,也就是大多数群都不是abel 群,这时候正规子群就类似于群中的一个对称的东西,这样非常有研究价值。具体的我水平也不高,不太能把自己脑中的数学直观转成文字表述出来,只能说个大概,题主能理解就好,不理解也很正常,看书得到自己理解才是醉吼的。

  有些多的细节还是要多学下去才能返回来理解。代数的学习就是一个把抽象的定义转为一个数学直观到头脑中的过程,我不停往后学,卡住了再回头看,不断重复这些过程可以更好的进入学习代数的节奏里面。当然方法因人而异,题主加油。

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